— 703 — 
Théorème. — Toute série trigonométrique meme divergente 
est la série de Fourier d’une fonction sommable , pourvu que son 
terme général ait pour limite 0 (*) et que ses limites d’indétermi¬ 
nation soient des fonctions de x finies et sommables. (Elles ne 
doivent pas être bornées.) 
Plus généralement, le théorème subsiste dans le cas où 
la somme de la série ou bien ses limites d’indétermination 
deviennent mfinies en certains points, pourvu que l’ensemble de 
ces points soit dénombrable , ou encore n’ait pas la puissance 
du continu, ou encore ne contienne pas d’ensemble parfait. 
(Il ne doit pas être réductible.) 
La démonstration de ce théorème dépend d'une étude atten¬ 
tive de la dérivée seconde généralisée et de la différence seconde 
qui s’y rattache. 
Dérivée seconde généralisée. — Soit F (x) une fonc¬ 
tion continue. Posons 
A 2 V = F (x -j- h) -j- F (x — h) — 2 V (x). 
Quand h tend vers 0, le quotient A 2 F : h 2 a une plus grande 
et une plus petite limites (finies ou infinies). Nous les appel¬ 
lerons les dérivées secondes généralisées supérieure et inférieure 
de F(æ) au point x. Si elles sont égales, la valeur commune 
est la dérivée seconde généralisée de F(æ) en ce point. 
Remarque. — Si les dérivées supérieure et inférieure sont 
différentes en un point, on peut faire tendre h vers 0 de manière 
que A 2 F : h 2 tende vers n’importe quel nombre désigné d’avance 
et compris entre ces deux dérivées. En effet, ce quotient est une 
fonction continue de h et ne peut osciller indéfiniment entre 
deux nombres sans repasser indéfiniment par les valeurs inter¬ 
médiaires. 
(*) L’énoncé de cette condition n’est même nécessaire que pour démontrer la 
seconde partie du théorème. 
