Nous allons énoncer quelques théorèmes fondamentaux rela¬ 
tivement à la dérivée seconde généralisée. 
Théorème i. — Si une fonction continue F(x) possède une 
dérivée seconde généralisée supérieure positive et non nulle en 
dingue point de l’intervalle (a, b), alors , dans cet intervalle , 
tout arc de la courbe y = F(x) est situé en dessous de sa corde. 
Au contraire y il serait au-dessus si la dérivée seconde inférieure 
était partout négative. 
Il suffit de démontrer la première partie de l’énoncé. 
Soit, en effet, AMB un arc quelconque de la courbe et AB sa 
corde. Supposons par impossible que cet arc ait une de ses 
parties au-dessus de AB. La courbe étant continue, on peut 
déterminer sur cette courbe au moins un point au-dessus de AB 
tel que sa distance à AB soit la plus grande possible, mais il 
peut y en avoir plusieurs. - 
Soit M celui de ces points dont l’abscisse x est la plus grande 
possible, M' et M" les deux points de la courbe d’abscisses x — U 
et x -f- //. Désignons par « un nombre positif inférieur à la 
dérivée seconde généralisée supérieure au point x; nous pour¬ 
rons choisir h positif assez petit pour qu’on ait 
A 2 F F(x + h) — F (a?) F(x — h) — F (a?) , A 
=----- 7 -- > uh> 0 . 
h h h 
Cette inégalité exprime que le coefficient angulaire de 
MM" est plus grand que celui de M f M ou que l’angle M'MM" a 
son sommet tourné vers le bas, c’est-à-dire vers la corde AB. 
Or ceci est impossible, car, en ce cas, un des deux côtés MM' 
ou MM" au moins serait au-dessus de la parallèle menée par 
M à AB et l’un des deux points M' ou M" serait plus loin 
que M de AB. 
Remarque. — On pourrait généraliser le théorème précédent 
en remplaçant la condition relative à la dérivéç seconde par la 
condition que l’on puisse faire correspondre à chaque valeur 
