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de x intérieure à (a, b) un système de deux nombres positifs 
infiniment petits h et k, rendant positive la différence 
F (x + //) — F (x) F(x — k) — F (. x) 
h : -F 
Condition (K). — Nous dirons que la fonction continue F(x) 
satisfait à la condition (K) dans l’intervalle (a, b), si, en chaque 
point# intérieur (au sens étroit) à cet intervalle, on peut choisir 
deux nombres positifs infiniment petits h et À:, rendant infini¬ 
ment petite aussi la différence 
F (x + h) — F (&) F (x — Tt) — F(æ) 
h — k 
TtiéoB'ènic il. — Soit F(x) une fonction continue dans 
l’intervalle (a, h) et qui satisfait à la condition (K). Considérons 
dans cet intervalle un arc quelconque AMB de la courbe y = F(x) 
et sa corde AB. S’il y a des points de l’arc au-dessus (en dessous) 
de la an'de , l’ensemble E des points où les deux dérivées secondes 
généralisées sont négatives (positives) et non nulles aura la 
puissance du continu et contiendra un ensemble parfait (*) . 
Nous allons d’abord montrer que l’ensemble des points 
ou Ton a A 2 F ^ 0 pour h infiniment petit a la puissance du 
continu. 
Opérons comme dans la démonstration précédente. Soit, au- 
dessus de AB, M le point de l’arc dont la distance à AB est la 
plus grande possible et qui a la plus grande abscisse x. 
On aura, en ce point, pour h infiniment petit, 
A 2 F ÿ 0. 
Menons à AB par le point M la parallèle MT ; ce sera la tan¬ 
gente à la courbe au point M, en convenant d’appeler ici 
tangente une droite qui passe par M sans traverser la courbe, 
.(*) Si les dérivées secondes négatives étaient toujours finies, l’ensemble E ne 
pourrait être de mesure nulle. Mais nous ne démontrerons pas ce résultat qui nous 
est inutile. 
