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et il ne peut pas y en avoir deux, car elles enfermeraient la 
courbe dans un angle, ce qui est contraire à la condition (K). 
Cette tangente sera d’ailleurs tout entière au-dessus de l’arc AMB. 
Soit maintenant AB' une seconde corde, obtenue en faisant 
tourner la première dans le sens direct autour du point A, 
d’ailleurs suffisamment voisine de la première pour qu’il reste 
encore des points de la courbe au-dessus de AB'. Soit M' celui 
de ces points qui est à la distance maximum de AB' et qui a 
la plus grande abscisse; au point M', la courbe aura une tan¬ 
gente parallèle à AB' et l’on aura, pour h infiniment petit, 
A 2 F ^ 0. 
A chaque corde AB'' intermédiaire entre AB et AB', corres¬ 
pond ainsi un point M" différent (la tangente y étant différente) 
où l’on a A 2 F ^ 0. 
On voit donc déjà que l’ensemble E 1 des points satisfaisant à 
cette condition a la puissance du continu. 
Pour s’assurer qu’il contient un ensemble parfait, il faut une 
remarque en plus. Le point M' que nous avons construit est 
à gauche du point M, car M étant plus éloigné de AB que les 
points de la courbe situés à sa droite, est aussi plus éloigné 
qu’eux de la droite AB'. La même remarque s’applique pour 
deux cordes quelconques. Soit donc G l’inclinaison de la corde 
AB", le point M" correspondant se déplace toujours vers la 
gauche quand G augmente. 
Il suit de là que, si le point M" tend vers une position- 
limite g quand G tend vers G 0 , la tangente M"T tend vers une 
position limite gT d’inclinaison G 0 . D’ailleurs, la tangente 
variable M 'T restant toujours au-dessus de l’arc de courbe AMB 
considéré, sa limite y T est dans le même cas. On a donc au 
point g aussi A 2 F ^ 0. Cette condition est donc réalisée dans 
l’ensemble décrit par le point M" et aux points-limites de cet 
ensemble, donc dans un ensemble fermé. Tout ensemble fermé 
qui a la puissance du continu contient un ensemble parfait, ce 
qui prouve la proposition. 
