II reste à étendre la démonstration à l’ensemble E du théo¬ 
rème, c’est-à-dire à l’ensemble des points où, pour h infiniment 
petit, l’on a lim A 2 F : h 2 < 0 (égalité exclue). 
A cet effet, il suffit de choisir le nombre positif s assez petit 
pour que la courbe 
y — F (x) + sæ 2 , 
aussi voisine qu’on veut de la précédente, ait aussi des points 
au-dessus de sa corde. Appliquons à cette courbe le théorème 
démontré. L’ensemble des points où l’on a, pour h infiniment 
petit, 
A 2 (F + bx*) = A 2 F + 2e// 2 ^ 0, 
c’est-à-dire 
A 2 F : h 2 ^ — 8 , 
a la puissance du continu et contient un ensemble parfait. C’est 
donc vrai a fortiori pour l’ensemble E (*). 
Théorème il*. — Si F(x) est une fonction continue satis¬ 
faisant à la condition (K) dans l’intervalle (a, b), l’ensemble 
des points où une dérivée seconde généralisée de F(x) est d’un 
même signe , par exemple négatif, a la puissance du continu et 
contient un ensemble parfait. 
Supposons que A 2 F soit négatif pour le système des trois 
points M', M et M" d’abscisses x — b, x, x - f- h . Le point M 
sera au-dessus de la corde M'M", ce qui ramène au théorème 
précédent. 
Théorème iv. — Si F (x) a une dérivée première continue 
F'(x), ses dérivées secondes généralisées supérieure et infé¬ 
rieure sont intermédiaires entre les quatre nombres dérivés du 
premier ordre de F'. 
(*) Il est à remarquer que la démonstration exige seulement que la condition (K) 
se vérifie dans E. 
