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On écrit, à cet effet, 
C h 
A 2 F■— j [F' (x -j- t) — F' (x — t j] dt 
A 2 F(&) r h %tdt pF' (® .+ t) — F' (X — ty 
h 2 ~ J 'lï~ L . 
ut. 
Quand h et t tendent vers 0, le crochet sous le signe j tend à 
devenir une moyenne entre les nombres dérivés de F' au point x. 
11 n’y a plus qu’à appliquer le théorème de la moyenne, qui 
permet de mettre le crochet hors du signe j, on obtient la 
démonstration du théorème énoncé. 
8. Théorème — Soit f(x) une fonction sommable dans 
l'intervalle (a, b), finie sauf peut-être aux points d’un ensemble 
de mesure nulle. On peut construire une fonction continue ^(x) 
infiniment voisine par excès de l’intégrale 
rx 
| f{x) dx 
a 
et dont les quatre nombres dérivés surpassent f (x) en tous les 
points où f(x) a une valeur finie. Nous l’appellerons la fonction 
majorante relative à f(x). 
De même, on peut construire une fonction minorante r f 2 (x), 
infiniment voisine par défaut de l’intégrale et dont les nombres 
dérivés seront < f(x) en chaque point où f(x) est finie. 
Montrons d’abord le moyen de construire la fonction majo¬ 
rante cp A (&) pour une fonction f(x) toujours positive (ou 
nulle). 
Soit s un nombre positif aussi petit qu’on voudra. Donnons- 
nous une échelle de nombres positifs : 
o, 4 , i 2 ,... l n ,... 
croissant jusqu’à l’infini par degrés < e. 
