Désignons par e n l’ensemble des points où l’on a 
i n ^ f(x) < i n+i : 
Désignant aussi par e n la mesure de l’ensemble de même 
nom, nous aurons, d’après la définition de l’intégrale de 
M. Lebesgue, 
oo * 
^/ n r n < I fdx <C ^ In+i^n • 
n =o J o 
a 
Par conséquent, puisque l n+1 — l n est < e, 
w rb 
< fdx I- s(b — a). 
0 J 
Donnons-nous maintenant une suite positive e ± , e 2 ,.., s n , _ 
assez rapidement décroissante pour que l’on ait 
^ n+i £ n îpf £ * 
Ceci fait, enfermons e n (au sens étroit) dans une infinité 
d’intervalles d’amplitudes 8”, 8g, _de manière qu’on ait 
^ ^ “h £ w 
h 
Appelons S w (æ) la somme de tous les intervalles B n et portions 
d’intervalles o n compris entre a et x. Je dis que la fonction 
<pi0*0 = 
n 
satisfera aux conditions du théorème. 
On aura d’abord, pour x = h, 
fl (P) — ^ ^n+i = y! ^n+i^n “h ^4 h-4 £ w 
n K 
Par conséquent, à cause des inégalités précédentes, 
