— 710 — 
Pour x compris entre a et />, on aurait (pour les mêmes 
raisons ou a fortiori ) 
r x r x 
j f(x) dx < çp 4 (#) < 1 f(x) dx -f s + e(b — a). 
a a 
11 reste seulement à montrer que les nombres dérivés de cp 1 (^) 
surpassent f(x) en tout point ou f\x) est finie. 
Supposons donc que f(x) tombe entre l n et l n+1 (exclu) ; le 
point x fait alors partie de l’ensemble c n et est intérieur (au sens 
étroit) à un intervalle $ n . 
Or on a 
<Pi(« + h) — cpi(x) = 2/ n+i [i S n (x + h) — S n (Æ?)]. 
Tous les termes de la somme sont positifs avec h (ou nuis) 
et non décroissants si li augmente. Donc, si h est positif et 
assez petit pour que x -f- h soit encore dans 6 n , on aura (en ne 
gardant qu’un terme) 
cp (x + h) — <P (æ) è 4 i+i [S n (a? -MO — (x)] g hl n+i . 
Le sens de l’inégalité changerait pour h négatif, de sorte que 
l’on a toujours, pour }h\ assez petit, 
y(x + h) — <p(«) 
- èWi- 
Donc les quatre nombres dérivés, étant au moins égaux à 
l n+l , seront > f(x). 
Montrons, en second lieu, le moyen de construire la fonction 
majorante y ± {x) quand f\x) est de signe quelconque. 
Définissons la fonction f^(x) égale à f(x) si / est > —N et 
égale à — N si f est ^ — N. Pour N infiniment grand, l’inté¬ 
grale de f#(x) surpasse infiniment peu celle de f(x). 
Il suffît donc de savoir construire la fonction majorante rela¬ 
tive à fx(x). Soit <|q(æ) celle relative à f^x) -f- N qui n’est pas 
négatif ; celle relative à sera évidemment 
?d(#) = —Næ. 
