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Quant à la construction de la fonction minorante <p 2 (&), elle 
se ramène à la précédente. Soit, en effet, — d>(x) la fonction 
majorante relative à — /', alors (x) est la fonction minorante 
relative à /'. 
Le théorème est complètement établi. Je n’ai fait d’ailleurs 
que reproduire le mode de démonstration que j’ai fait connaître 
dans le tome I er (n° 282) de mon Cours d'analyse (2 e édition, 
1909, Paris, Gauthier-Villars, et Louvain, Uystpruyst). 
4 . — Voici maintenant le théorème qui va jouer le rôle 
essentiel dans la démonstration que nous avons en vue. Il fait 
connaître sous quelles conditions générales une fonction est 
déterminée, à une fonction linéaire près, par ses dérivées 
secondes généralisées. 
Théorème vi. — Soit F(x) une fonction continue dans un 
intervalle (a, h). S'il existe une fonction f(x) intermédiaire entre 
les deux dérivées secondes généralisées de F(x) ou égale à l'une 
des deux , laquelle fonction f(x) soit finie et sommable dans l'in¬ 
tervalle (a, b), on aura , dans cet intervalle, 
1 ~x rx 
<lx 1 f(x)dx + fonction linéaire de x. 
a a 
Construisons au moyen de f(x} les deux fonctions majo¬ 
rante ^i(x) et minorante <p 2 (x ) du théorème V ; formons alors 
les deux fonctions nouvelles : 
rx rx 
F (x )— l <f 2 (x)dx, F (x )— i (x) dx, 
a a 
lesquelles sont infiniment voisines F une de l’autre et com¬ 
prennent entre elles la fonction 
rx rx 
F(x) — dx J f(x) dx, 
a a 
qui est inférieure à la première et supérieure à la seconde. 
D’ailleurs ces trois fonctions s’annulent pour x — a. 
