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Construisons, entre les points d’abscisses a et b, les arcs 
AM/Bj, AMB, AM 2 B 2 des trois courbes infiniment voisines : 
roc 
y i= = F(æ) — | ffc{x)dx, 
a 
rx rx 
y = F (*) — ] (te j /■(«) dx, (y, > y > y 2 ) 
a a 
rx 
V% = F(x) — | cc/æ) dx. 
a 
Les trois cordes AB a , AB, AB 2 seront infiniment voisines, 
AB sera en dessous de AB a et au-dessus de AB 2 . Mais, en vertu 
du théorème YI, la dérivée seconde généralisée supérieure de 
ij v sera plus grande que celle de F(x) diminuée de f(x), elle 
sera donc positive. De même la dérivée seconde généralisée 
inferieure de y 2 sera négative. 
Appliquons donc le théorème I; l’arc AM 1 B 1 est en dessous 
de sa corde et l’arc AM 2 B 2 est au-dessus de la sienne. Donc 
l’arc intermédiaire AMB est a fortiori compris entre les deux 
cordes AB a et AB 2 . 
Ainsi l’arc AMB, qui est invariable et compris entre deux 
droites infiniment voisines de part et d’autre de la droite AB, 
ne peut différer de cette droite. Soit y = px -[- (/ l’équation 
de AB, on aura donc 
rx rx 
F (x) — l dx l f(œ) dx = px -f q, 
J * 
a a 
ce qui prouve le théorème. 
Théorème vu. — Si la fonction f(x) du théorème précédent 
n est pas finie partout , mais devient infinie dans un ensemble E, 
la conclusion du théorème subsistera , pourvu que F(x) satisfasse à 
la condition (K) (*) et que l'ensemble E n'ait pas la puissance du 
(*) Il suffirait même que cette condition eût lieu dans E. 
