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continu, ou encore ne contienne pas d'ensemble parfait (donc, en 
particulier, si E est dénombrable). 
En effet, nos conclusions de la démonstration précédente 
touchant les signes des dérivées secondes des fonctions y ± et y 2 
ne pourraient tomber en défaut que dans l’ensemble E. Mais, 
en vertu du théorème II, cela ne peut modifier la situation 
relative des arcs et des cordes considérés dans la démonstration , 
précédente. Donc les conclusions subsistent. 
itcmarque. — Si les hypothèses de l’un des deux théorèmes 
précédents ont lieu, il en résulte que F(æ) aura partout une 
dérivée première continue et aura presque partout (*) une 
dérivée seconde, à savoir respectivement : 
roc 
F'(æ)=J i f(x) dx p et F "(x) = f{x). 
5 . — Nous passons maintenant à l’application des théorèmes 
précédents aux séries trigonométriques (**). 
Soit une série trigonométrique quelconque, convergente ou 
non, 
00 oc 
2] A n = 2] ( a w C0S nX + fin sin nX )> 
o o 
dans laquelle a n et (3 n ont pour limite 0 pour n infini. 
Posons 
F (a?) = A 0 
x 2 
On sait que F(x) est une fonction toujours continue de x 
et satisfaisant à la condition (K), car on a 
lim |~F(æ + /î)—F(æ) 
h = 0 L h~ 
F(x — h)—F(xy 
— k 
= 0 . 
(*) C’est-à-dire, sauf pour un ensemble de points de mesure nulle. La locution 
est de M. Lebesgue. 
(**) On trouvera une exposition détaillée de la théorie de ces séries dans le 
tome II de notre Cours d'analyse (2 e édit., 1912). 
