On sait aussi que ¥{x) a pour dérivée seconde généralisée 
£.\ w en tout point, de convergence de cette série. 
Ce résultat dû à Riemann joue le rôle essentiel dans les 
démonstrations proposées jusqu’ici de l’iinicité du développe¬ 
ment trigonométrique. Il est remarquable que ce résultat nous 
soit inutile. 
Nous lui substituons la proposition suivante, qui, d’ailleurs, se 
démontre d’une manière analogue. 
Théorème vin. — Soit S n la somme des n premiers termes 
de DA W . Si, pour une valeur donnée de x, S n est bornée quel 
que soit n, l’expression 
A 2 F * 1 — cos nh 
le restera aussi quand h tendra vers 0, et ses limites d’indé¬ 
termination ne surpasseront pas en valeur absolue l’expression 
kS, où k est un facteur numérique indépendant de x et S la plus 
grande limite de |S n j. 
En effet, en y remplaçant A n par S n — S n _ 1 , l’expression 
considérée prend la forme 
2£s n 
1 — cos nh 
n 2 h 2 
1 — cos (n + 1) h 
('n + l) 2 h 2 
Tous les termes de cette somme tendent vers 0 avec li. Pour 
en trouver les limites, il n’y a donc pas lieu de tenir compte des 
termes dont l’indice n est inférieur à un nombre fixe si grand 
soit-il. Ces limites ne surpasseront donc pas, en valeur absolue, 
l’expression 
2£S 
, f\ — cos x\ 
< °2S 
d 
J 
\ -* 2 J 
0 
ce qui prouve la proposition. 
Nous pouvons maintenant établir le théorème que nous avons 
annoncé au début du mémoire. 
