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Théorème ix. — Si les plus grande et plus petite limites 
de S n sont des fonctions sommables de x, finies sauf peut-être 
dans un ensemble E, la série trigonométrique sera la série de 
Fourier de chacune des deux dérivées secondes généralisées 
(supérieure ou inférieure) de F(x), pourvu que l'ensemble E 
n’ait pas la puissance du continu ou ne contienne pas d’ensemble 
parfait. 
Soient ^(æ) et les limites d’indétermination (fonctions 
de x) de S n quand n tend vers l’infini. Supposons-les d’abord 
finies en chaque point. Alors les fonctions |<J^| et |^ 2 | sont 
aussi finies et sommables. 
Les dérivées secondes généralisées supérieure et inférieure 
de F(æ) sont les limites d’indétermination f ± (x) et f 2 { x ) du 
quotient A 2 F : h 2 , où h tend vers 0. Ces fonctions cp 1 et <p 2 sont 
mesurables, elles sont de plus finies et sommables, parce qu’elles 
ne peuvent surpasser en valeur absolue la fonction sommable 
k\ty ± \ —(— /c11,• en vertu du théorème précédent. 
On peut maintenant appliquer le théorème VI en prenant f(x) 
égale à ^(æ), par exemple. Il vient ainsi 
roc rx rx 
F(æ) = J dx 1 f(x) dx + px + q, F'(x) = 1 f(x) dx p. 
» J J 
a a a 
Soient a m et b m les constantes de Fourier de f(x), à savoir 
1 r 2 * 1 r 2r 
a m = - | f(x) cos mx dx, b m = - \ f{x) sin mx dx. 
0 0 
I 
On peut multiplier par-cos mx dx les deux membres extrê¬ 
mes des égalités 
A 2 F(æ) = | [F'(æ + t) — F'(x — t)] dt = |~dt f{x + u) du, 
0 0 —t 
puis intégrer par rapport à x de 0 à sous le signe j. 
1912. 
SCIENCES. 
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