— 716 — 
Si l’on observe que, f\x) étant périodique, on a 
1 f 2T 
| f{x) [cos mx cos mu -J- sin mx sin mi] dx 
1 Ç 27r 
- \ f(x + a) cos mx dx = - 
= a m cos mu + b m sin mu, 
il vient ainsi (l’intégrale de sin mu s’annulant entre — t et -j- t) 
1 rzT çn -t 
A 2 F(æ) cos mx dx = a m l dt I cos mu du 
0 0 — t 
sm fa 
= 2 — (sin mt dt = 2 — (1 — cos mh). 
m J m 2 v ' 
D’autre part, en remplaçant A 2 F(x) par son développement 
uniformément convergent 
4 ^ a m cos mx 4- sin mu /t 
A 2 F(&) = 2 V —--(1 — cos mh), 
** m 2 
on trouve comme valeur de la même intégrale 
cos mx dx = 2 — (1 — cos mh). 
m 2 v ; 
1 f 2 ^ 
- 1 A 2 F(æ) 
71 J 
<T 
Comparant les deux résultats, il vient 
a m = a m , de même = b> 
Donc la série considérée est une série de Fourier. 
Si les fonctions <]q et devenaient infinies dans un ensem¬ 
ble E ne contenant pas d’ensemble parfait, la démonstration 
subsisterait à condition de remplacer le théorème VI par le 
théorème VII. 
Mo — C’est surtout le théorème qui précède que nous avions 
