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en vue d’obtenir. Toutefois il y a lieu d’observer que nous 
avons démontré, en même temps, le théorème suivant qui est 
plus précis : 
Théorème x. — Toute série trigonométrique sommable 
par le procédé Riemann et dont la somme ainsi calculée est finie 
et sommable est une série de Fourier. 
Plus généralement , si la somme ainsi calculée n'est pas par¬ 
tout déterminée, mais que la fonction f(x), égale à la plus petite 
en valeur absolue de ses deux limites d'indétermination en 
chaque point, soit finie et sommable , la série sera la série de 
Fourier de f(x). 
Enfin (le terme général tendant vers O) la conclusion subsiste 
encore si f(x) est infinie dans un ensemble E, pourvu que cet 
ensemble n'ait pas la puissance du continu ou ne contienne pas 
d'ensemble parfait. 
D’ailleurs, si ces conditions .sont réalisées, la série sera som¬ 
mable par le procédé de Riemann, sauf dans un ensemble de 
mesure nulle, car il en est ainsi pour toute série de Fourier. 
Remarque. — M. Lebesgue a montré qu’une fonction som¬ 
mable admet toujours un développement trigonométrique, celui 
de Fourier, susceptible d’être sommé par le procédé de Riemann 
presque partout. Si elle en admet un autre susceptible du même 
procédé, la différence sera encore une série trigonométrique 
sommable par le procédé de Riemann et ayant pour somme 0 
presque partout. Si le développement n’est pas identiquement 
nul, il faudra, d’après ce qui précède (théorème Vil), qu’il 
donne par le procédé de Riemann une somme infinie dans un 
ensemble contenant un ensemble parfait. 
On est ainsi conduit à se demander s’il est possible de former 
une série trigonométrique non identiquement nulle et ayant 
pour somme 0 presque partout quand on emploie le procédé de 
Riemann. Il est facile de voir que oui. Soit, en effet, <p(æ) une 
fonction continue à variation bornée ayant pour dérivée 0 
