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presque partout (*),. Elle est développable en série de Fourier 
uniformément convergente que nous pouvons écrire comme il 
suit : 
<?{x) = a 0 + £ 
a w sin nx — fi n cos nx 
Posons 
F ( Æ ) = — £ 
ol u cos nx + p n sin nx 
F(æ) aura partout <p(æ) — a 0 pour dérivée première et presque 
partout 0 pour dérivée seconde. Or, on a 
A 2 F (x) 
~HT 
oc 
2 ^ (cl u cos nx + fi n sin nx) 
1 — cos nh 
Donc la série trigonométrique, non identiquement nulle, 
a n cos nx + fi n sin nx, 
sommée par le procédé de Riemann, a pour somme 0 presque 
partout. Ce n’est donc certainement pas une série de Fourier. 
Toutefois il demeure douteux que a w et fi n tendent vers 0 dans 
cette série et a fortiori que la série converge. 
( “) Il est facile de définir une telle fonction. Soit E un ensemble parfait non 
dense de mesure nulle. Faisons correspondre, dans l’ordre, les points rationnels 
de l’intervalle (0,1) aux intervalles contigus à E. Définissons la fonction <p(æ) en 
donnant à cp la valeur rationnelle correspondante quand x tombe dans un intervalle 
contigu à E, et en lui donnant la valeur irrationnelle limite des précédentes quand 
x , étant un point de E, est limite d’intervalles contigus à E. La fonction cp(x) sera 
continue, elle sera constante dans les intervalles contigus à E, donc sa dérivée sera 
nulle dans ces intervalles, c’est-à-dire presque partout. 
