A. Demoulin. 
appartenant au même système. Il est clair qu’une quelconque 
des surfaces (M) et une quelconque des surfaces (W) sont les 
deux nappes d’une enveloppe de sphères. Ces surfaces se corres¬ 
pondent dans une transformation de Ribaucour. 
14. Nous avons appelé systèmes K (de seconde espèce) les 
congruences de cercles considérées dans le second de ces théo¬ 
rèmes et nous les avons étudiées dans trois notes insérées dans 
les Comptes rendus de P Académie des sciences de Paris (séances 
des 3 et 17 janvier et du 7 février 1910) (*). Nous allons indiquer 
de nouvelles propriétés des systèmes K. Dans l’exposé qui va 
suivre, nous nous appuierons sur quelques propriétés établies 
dans la troisième des notes citées. 
15. Soient u, v les paramètres des lignes de courbure des 
surfaces (M) et des surfaces (M'). En appliquant la transforma¬ 
tion de Lie à un des résultats énoncés au n M 3, on trouve que les 
sphères principales des surfaces (M) et des surfaces (M') relatives 
aux lignes u — const. (ou v = const.) enveloppent une cyclide 
de Dupin A (ou A') (**). Soient K, K i (ou K', KJ) les coniques 
qui constituent la développée de A (ou A'). Nous supposerons 
que K (ou K') est celle de ces coniques qui est tracée sur H. En 
vertu d’une propriété des lignes de courbure, K (ou K') est une 
partie de la caractéristique de H lorsque u (ou v) varie seul. 
Les paramètres des développables engendrées par l’axe a de 
H sont u , v. Soient F, F' les points focaux de a, ces points 
étant définis de manière que les courbes (¥ u ) et (F,',) soient tan¬ 
gentes à la droite a. La partie complémentaire de la caractéris- 
(*) Dans une lettre qu’il nous a adressée en 1910, postérieurement à la publi¬ 
cation de ces notes, M. Guichard nous a fait observer que les systèmes K sont ceux 
qu’il désigne parla notation 20. 
(**) Nous avons établi ce théorème, par la méthode indiquée dans le texte, dans 
le mémoire cité dans la note du n° 3. 
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