Géométrie infinitésimale. — Sur les surfaces dont les lignes 
de courbure d’un système sont planes ou sphériques 
et sur les familles de Lamé dont les trajectoires ortho¬ 
gonales sont planes ou sphériques, 
par M. A. DEMOÜLIN, membre de l’Académie. 
1. Désignons par (A) et (B) les deux nappes de l’enveloppe 
«l’une famille de sphères à deux paramètres et par A et B les 
points de contact de ces surlaces avec une sphère quelconque S 
de la famille. Etablissons entre les surfaces (A) et (B) la cor¬ 
respondance ponctuelle dans laquelle A et B sont deux points 
correspondants et supposons que cette correspondance ait lieu 
avec conservation des lignes de courbure (*)'. Nous dirons que 
les deux surfaces se correspondent dans une transformation de 
Bibaucour. 
Les tangentes à deux lignes de courbure correspondantes 
a et (3 en deux points corrèspondants A et B se coupent ; donc 
il existe un cercle, tracé sur S., qui touche les courbes a et [3 
aux points À et B. Or, lorsqu’un cercle dépendant d’un para¬ 
mètre a une enveloppe qu’il touche en deux points, les cercles 
oscillateurs des deux branches de l’enveloppe en ces points ont 
deux points communs. Donc les cercles oscillateurs des courbes 
a et (3 en A et B se coupent en deux points. Nous pouvons dès 
lors énoncer le théorème suivant : 
Si deux surfaces se correspondent dans une transformation 
(*) Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit qu’une tangente principale de 
(A), relative au point A, et une tangente principale de (B), relative au point B, se 
coupent. 
