A. Demoulin. 
de Ribaucour, les cercles oscillateurs de deux lignes de courbure 
correspondantes en deux points correspondants se coupent en 
deux points (*). 
2. Soumettons un périsphère quelconque (A) à une trans¬ 
formation de Ribaucour et soit (B) la surface obtenue. Désignons 
par a une ligne de courbure circulaire quelconque de (A) et 
par (3 la ligne de courbure de (B) qui lui correspond. D’après 
le théorème précédent, les cercles osculateurs de (3 rencontrent 
a en deux points ; donc (3 est située sur une sphère passant par a. 
Ainsi, pour la surface (B), les lignes de courbure d’un système 
sont sphériques. Ces lignes seront planes si les lignes a sont 
des droites. 
3. Soient (A) et (B) deux systèmes triples orthogonaux qui 
se correspondent dans une transformation de Ribaucour (**). 
Désignons par u ± , u 2 , u 3 les paramètres des trois familles de 
surfaces qui composent chacun d’eux et par A et B deux points 
correspondants. Il existe trois sphères S 1? S 2 , S 3 respectivement 
tangentes en A et en B aux surfaces u i '== c te , u 2 ===■ c te , u 3 == c te 
qui passent par ces points. Soit i k l une permutation quel¬ 
conque des nombres I, 2, 8. Si u i varie seul, les points A et B 
décriront des trajectoires orthogonales des surfaces u j = const. 
Ces courbes toucheront respectivement aux points A et B le 
cercle d’intersection des sphères S*, S*. Par suite, en vertu d’un 
théorème invoqué plus haut, leurs cercles osculateurs en ces 
points se couperont en deux points. Nous pouvons donc énoncer 
le théorème suivant : 
Si deux systèmes triples orthogonaux se correspondent dans 
(*) Les lignes principales de l’enveloppe de la famille de sphères la plus géné- 
lale jouissent de la même propriété. Pour l’établir, il suffit de raisonner comme 
dans le texte. 
(**) Pour la définition de cette transformation, voir G. Darboux, Leçons sur les 
systèmes orthogonaux , 2 e édit., n° 215. 
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