A. Demoulin . 
une transformation de Ribaucour, les cercles osculateurs de 
deux trajectoires orthogonales correspondantes en deux points 
correspondants se coupent en deux points. 
4 Soumettons un système triple orthogonal cyclique (A) 
à une transformation de Ribaucour et soit (B) le système triple 
orthogonal obtenu. Désignons par a une quelconque des trajec¬ 
toires orthogonales circulaires contenues dans (A) et par (3 la 
trajectoire orthogonale contenue dans (B) qui lui correspond. En 
vertu du théorème précédent, les cercles osculateurs de [3 coupent 
a en deux points; donc (3 est située sur une sphère passant par a. 
Ainsi, pour le système (B), une des trois familles de trajectoires 
orthogonales est formée de courbes sphériques. Ces courbes 
seront planes si les trajectoires orthogonales a sont des droites. 
5. 1 jës considérations précédentes sont extraites du mémoire 
auquel F Académie des sciences de Paris a décerné le prix 
Bord in en 1911. Dans ce mémoire, nous avons fait observer 
que, vu leur degré de généralité, il était extrêmement probable 
que les ligures obtenues, surfaces et systèmes triples orthogo¬ 
naux, étaient les plus générales de leur espèce. Nous allons 
démontrer, par la géométrie, qu’il en est bien ainsi. 
6. Soit S une surface dont les lignes de courbure d’un 
système sontplanes ou sphériques (et non circulaires). Désignons 
ces lignes par la lettre K et par L les lignes de courbure de 
l’autre système. La sphère (ou le plan) U qui contient une 
ligne K coupe la surface S sous un certain angle. Supposons 
qu’un cercle F, tracé sur U, engendre, lorsque K varie, un 
périsphère P coupant cette sphère sous le même angle. Soit A 
un point quelconque de K. Il y a deux cercles qui touchent K, 
en A, et F. P/ar un de ces cercles, que nous appellerons G, 
passe une sphère tangente à S en A et à P au point B où ce 
cercle touche T. La surface S et le périsphère P sont donc les 
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