Géométrie infinitésimale. — Sur les systèmes 0 
et sur les systèmes R, 
par M. A. DUMOULIN, membre de l’Académie. 
Préliminaires. 
1. Si les coordonnées d’un point P dépendent de deux 
paramètres u, v, nous désignerons par (P) la surface décrite par 
ce point, par (P W J le réseau [u, v) tracé sur (P) et par (PJ, 
(PJ les courbes v = const., u = const. qui passent par P. 
Inversement, lorsque nous parlerons d’un réseau (P M J, il 
s’agira du réseau (u, v) décrit par un point P. 
2. Supposons que les coordonnées de deux points M, M f 
soient exprimées en fonction de deux paramètres u, v. Nous 
dirons que les réseaux (M m J, (MJ) sé coupent directement (ou 
inversement) si les tangentes aux courbes (MJ, (MJ sont res¬ 
pectivement coupées par les tangentes aux courbes (MJ, (MJ 
[ou (M'„)] (*). 
3. Soient w, v les paramètres des développables d’une 
congruence engendrée par une droite d. Nous appellerons pre- 
(*) Un réseau conjugué ou un réseau de lignes asymptotiques étant donné, on 
peut se proposer de déterminer les réseaux conjugués ou les réseaux de lignes 
asymptotiques qui le coupent directement ou inversement. Ainsi se trouvent posés 
huit problèmes. L’un d’eux a été résolu, il y a longtemps, par M. Darboux (Leçons 
sur la théorie des surfaces, n° 422). Nous ferons connaître prochainement les résul¬ 
tats que nous avons obtenus dans l’étude des autres. 
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