et quelques-unes de ses applications géométriques. 
6. Les formules (4) et (8) montrent que les n ! fonctions 
2 ai a 2 ...a n K, a 2 , ..., a w == 1, 2, n) sont identiques. Dési¬ 
gnons par Z la fonction avec laquelle elles coïncident. Parmi 
les lonctions Z, Z^^, Ztx^ otg? • • •> 2>oci(X2, oc^— 1 > ^ (^i» ^ 2 » * • • ? — i 
1, 2, ..., n), il n’y en a que 2 n de distinctes. Chacune de 
ces fonctions satisfait à une des 2 n équations considérées au n° 5, 
et deux fonctions qui satisfont à deux équations contiguës se 
correspondent dans la transformation en vertu de laquelle ces 
équations se correspondent. 
IL 
7. Parmi les applications analytiques des formules que nous 
venons d’indiquer, nous signalerons la suivante. Si l’on prend 
pour équation ( e ) l’équation = 0, on aura z === U -f- V, 
to/ = U' £ + 2, ..., n), U, Uy, U 2 , ..., U w désignant des 
fonctions de u et Y, Y^ Y 2 , ..., Y n , des fonctions de v. On 
pourra mettre ces fonctions sous une forme telle que les équa¬ 
tions (ej, ; (e 12 ), (c 12 w ) et leurs intégrales soient débarrassées 
de tout signe d’intégration. Ainsi que l’a démontré M. Dar- 
boux (*), on obtiendra de cette manière toutes les équations 
linéaires à invariants égaux dont la méthode de Laplace peut 
fournir l’intégrale. 
III. 
8. On a vu (n° 4) que les fonctions Q £ (i = I, 2, ..., n) 
satisfont à l’équation (E). De même qu’on a déduit l’équa¬ 
tion (E) de l’équation ( e ) au moyen des solutions de même 
(*) Leçons sur la théorie des surfaces, 2 e partie, n° 396. 
