A . Demoulin. — Sur la transformation de Moutard 
1 0. Si n = 3, le système (M) 2 « (n° 5) se compose des 
équations (e), (e ± ), (e 2 ), (e 3 ), (e i2 ), (e 23 ), (e 31 ), (E). On peut 
décomposer de trois manières différentes ce système en deux 
systèmes (M) 4 . Une de ces décompositions donne les systèmes 
[(e), (e % ) 9 (e 2 ), (e 12 )], [(e 3 ), (c 23 ), (e 31 ), (E)]. D’après ce qu’on 
a vu au n° 9, on peut adjoindre au premier de ces systèmes 
deux équations (A z ), (B m ) dépendant chacune d’une constante 
arbitraire et admettant pour intégrales générales les fonctions a, 
P définies par les égalités (13) et (14). De même, on peut 
adjoindre au second système deux équations (C^), (Dx) admet¬ 
tant respectivement pour intégrales générales les fonctions y, 5 
définies par les égalités 
<*¥*> 3 . 0*1 — z 2 ) + [aw 2 w 3 (z 2 — z 3 ) 
(15) 
T = * + 
^33<*>l^l H~ 0 31^2^2 ~}~ {tt, t 2 ~f- X). C0 3 ^3 
% 3 W 1 .+ ^ 31 W 2 H - (^42 ^3 
(16) 
et |i désignant des constantes arbitraires. 
1 étant arbitraire, les équations (A a ) et (D { ) sont contiguës; 
de même f m étant arbitraire , les équations (B m ) et (C m ) sont 
contiguës. D’autre part, en vertu du théorème du n° 9, les 
équations (A z ) et (B m ) sont contiguës ainsi que les équations 
(C m ) et (D z ). Les équations (Af), (B m ), (C m ), (Df) forment un 
système (M) 4 . Les fonctions a, (3, y, 8 définies par les égalités 
(13), (14), (15), (16) (on fera g. = m dans l’avant-dernière et 
1 = i dans la dernière) sont des solutions correspondantes de 
ces quatre équations. Elles sont liées par la relation 
(17) y = a + . 
268 
