M. Stuyvaert. — Systèmes triplement infinis 
La symétrie en u et v montre que la transformation est 
réversible ; ces équations donnent les rapports mutuels de a, (3, 
y, 8, v v v 2 , v 3 ; les trois derniers nous intéressent seuls, et, 
comme nous l’avons prévu, v v v 2 , v s sont proportionnels à des 
fonctions quadratiques de u v u 2 , u 3 . Mais les équations (2) ne 
donnent plus les rapports mutuels de a, (3, y, 8, v 19 v 2 , v 3 si la 
matrice suivante est nulle : 
«Il 
b u 
Cii 
d ±i - 
- u± 
2a 12 
2 b a 
2r 12 
- ll 2 - 
- «1 
«22 
C 22 
d-22 _ 
- u 2 
2 «13 
2 b a 
2Ci 3 
— 
-u 3 
— «1 
^ «23 
2 /<« 
2c 2 3 
24 3 
- «3 — «2 
«33 
b æ 
C 33 
^33 
«3 
En supprimant l’une ou l’autre des trois dernières colonnes, 
on voit sans peine que cette matrice s’annule pour trois sys¬ 
tèmes de valeurs des rapports u v n 2 , n 3 ; en général, la trans¬ 
formation Cremona fait correspondre à la droite v un faisceau 
tangentiel à trois tangentes fixes communes, et une variable 
avec v. 
Ainsi nous retrouvons la solution du problème des coniques 
dégénérées, mais pour le cas général; il reste à analyser les 
exceptions. Car nous venons de constater l’existence de trois 
droites exceptionnelles ; mais il peut arriver qu’elles soient ou 
confondues, ou en nombre infini. 
Seulement, si la dernière matrice ne représente que trois 
droites, peut-être confondues, celles-ci apparaissent comme 
trois des tangentes communes à deux courbes de seconde classe; 
la tangente commune à défalquer est réelle si les équations a% ... 
sont à coefficients réels, donc une des trois droites au moins est 
réelle. Si la matrice représente plus de trois droites, elle en 
représente une infinité comprenant un faisceau du second ou du 
premier ordre; mais les deux courbes de seconde classe ne 
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