M. Stuyvaert. — Systèmes triplement infinis 
droite exceptionnelle quand d 3 est nul, l’involution des points 
neutres est 
T (jnxt + a® + + d 3 x 3 ) = 0 ; 
les points doubles sont donnés par 
4y 2 m r|- 4y8of 2 — 8 z d 3 ~ 0 ; 
les réseaux correspondant aux racines y : 8 de cette équation 
sont réels, imaginaires ou confondus, suivant que md\ -{- d\ est 
positif, négatif ou nul ; toutefois si d 3 = 0, les racines sont 
toujours réelles et l’une est y = 0; les points doubles sont 
alors x 1 = x 2 = 0 et x ± = x 3 = 0. 
La seconde droite exceptionnelle u 3 == 0, d 3 u ± — d ± u 2 — 0, 
distincte de la première seulement si d 3 diffère de zéro, a pour 
équation ponctuelle x ± d ± -|- x 2 d 3 = 0; on en tire x 2 en fonction 
de x lf et en remplaçant dans l’équation du système, on n’obtient 
que des termes en x\ et x\ ; donc la seconde droite exception¬ 
nelle porte une involution dont les points doubles sont le point 
x ± x, 2 et le point de rencontre de la droite exceptionnelle avec le 
côté x 3 . Par suite, le système n’a qu’un réseau à trois points de 
base dont deux confondus au sommet x ± x 2 . 
La seconde droite exceptionnelle correspond à un faisceau de 
droites v que l’on trouve en faisant la substitution de pd 1} p d 3 , 
0 à u lf u 2 , u 3 dans les relations du début de ce paragraphe; 
ceci donne 
pd 3 v 2 = y m -P 8rf 2> 0 = y, pd ± v 3 ==%d i} p d 3 r 3 = 8 d 3 , 
ou simplement pd 3 v 2 = od 2 , pt> 3 = 8 ; le sommet de ce faisceau 
a pour équation tangentielle d 2 v 3 — d 3 v 2 = 0 et ne se trouve 
pas sur la droite exceptionnelle, car on devrait avoir 
0 — d 3 d 3 = 0 ; donc, dans le cas où d 3 n’est pas nul, le système 
ici considéré aurait pu être étudié au paragraphe précédent et, 
comme nous l’avons dit, il se confond avec le système (7) dans 
l’hypothèse m = 0. 
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