M. Stuyvaert. — Systèmes triplement infinis 
et finalement : 
v± • v 2 \ Vp = d 3 uf) (d 2 u 3 d 3 ué) * d 3 u 3 \ 
ceci est une transformation linéaire en coordonnées tangen- 
tielles ; entre deux droites correspondantes u x = > u i x 1 -)- u 2 x 2 
-|- u 3 x 3 et v x s (d 1 u 3 — d 3 u 1 )x 1 -j- ( d 2 u 3 — d 3 ti 2 )x 2 -|- d 3 u 3 x 3 , 
on a une relation simple, car d 3 u x — v x est une expression 
privée du terme en x 3 , et d 3 u x -|- v x = 0 est une droite fixe 
d ± x ± -f- d 2 x 2 + %d 3 x 3 = G, ainsi la transformation est une 
homologie harmonique où x ± x 2 est le centre, et la droite fixe 
d±x ± + d 2 x 2 -f- est Taxe. Quant aux droites pouvant 
porter des points neutres ou appartenir à un faisceau de coniques 
dégénérées, elles passent par le centre d’homologie, car les 
relations 
«1V3 + = 5 ^, u 2 v 3 + u 3 v 2 = %d 2 , u 3 v 3 = Btf 3 
ne sont indéterminées en v 1 : v 2 : v 3 que si u 3 = 0. 
L’involution de points neutres sur chaque droite issue de 
x ± x 2 a ses points doubles au centre et sur l’axe d’homologie. 
Pour avoir les droites doubles, il faut écrire %u 1 u 3 = Bc^, 
%u 2 u 3 = ld 2 , u\ = B d 3 , ce qui exige, ou bien u 3 = 0, ou bien 
u ± : u 2 : u 3 = d ± : d 2 : %d 3 ; ainsi les droites doubles sont l’axe 
d’homologie et les rayons issus du centre. 
En résumé, les formules (8) dans le cas de d 3 non nul, puis 
de d 3 nul, et les formules (9) constituent trois exceptions 
E, E', E" au système de quatre coniques d’un plan; la première 
peut aussi se représenter par les expressions (7) où l’on fait 
m — 0. Rappelons les formules réduites : 
/FA 
\ x±x 2 , 
II 
x\ + nx 2 x 3 + px\, 
w 
) xf, 
x ± x 2 , 
ma | + x\, 
d^x^x 3. -j- d 2 x\ -j- d 3 x 2 x 3 , 
(E') 
x\, 
X±X 2 f 
mx \ + xi, 
d\X^x 3 + d 2 x f, 
(E”) 
x\, 
XjX 2 , 
x\, 
d i x i x 3 -f d 2 x 2 x 3 + d 3 x 3. 
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