M. Sluyvaert. — Systèmes triplement infinis 
osculatrices (voir G. Salmon, Courbes planes, p. 306 ). En parti¬ 
culier, les plans tangents à cette surface E' contiennent des 
couples de coniques osculatrices sur la droite cuspidale. 
Voici un moyen de contrôler que la courbe (p) possède à 
l’origine deux branches, simplement tangentes quand d s n’est 
pas nul, et osculatrices dans le cas contraire. Prenons x pour 
infiniment petit principal : l’équation ( p ) y fait correspondre 
quatre valeurs de y dont deux sont des infiniment petits du 
second ordre, et les autres supposées finies, ce qui peut être 
réalisé par un choix convenable de l’axe des y. Des six diffé¬ 
rences mutuelles de ces valeurs de y , cinq sont finies et une 
infiniment petite ; leur produit est donc aussi infiniment petit, et 
réciproquement, selon que ce produit est infiniment petit du 
second ou du troisième ordre; il en est de même de la différence 
des deux valeurs de y. Or le carré du produit des différences est 
le discriminant, et nous devons constater dans quel cas il est du 
quatrième ou du sixième ordre infinitésimal. 
En écrivant l’équation (p) sous la forme abrégée 
\y 4 + Bî/ 3 + Cy 2 + Dy + E — 0, 
les coefficients A, B, C sont finis, D est du second ordre et E 
du quatrième; le discriminant est, au signe près : 
4A 
3B 
2C 
D 
B 
2C 
3D 
4E 
4A 
3B 
2C 
D 
B 
2C 
3D 
4E 
4A 
3B 
2C 
D 
» 
B 
2C 
3D 
4E 
développons, par le théorème de Laplaee, d’abord pour les deux 
premières lignes, puis pour les deux suivantes, et ne prenons 
308 
