Th. De Donder. — La gravifique. 
ce qui permettra d’exprimer la vitesse généralisée en fonction 
de la vitesse ordinaire. 
Les équations du mouvement du fluide (81) admettent, en 
vertu de (63) et de (66), Y invariant intégral 
J'pV“ 1 8^ i 8Æ 2 8a? 3 . (86) 
En effet, l’équation (63) peut s’écrire, en vertu de (85) : 
d( pV -1 • v a ) 
dx a 
= 0 
1 , 2 , 3 , 4 . 
(87) 
C. Q. F. D. 
Donc le fluide se meut comme si pV -1 était sa densité. 
Je dis que les trajectoires du fluide matériel considéré dans 
T espace (x if x 2 , x 3 ) sont des extrémales de cet espace. 
Montrons donc que les équations différentielles (64) expriment 
les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’on ait 
8jVdf= 0; (88) 
ici la variation porte sur x 1$ x 3 , x 3 , v 1 , v 2 , v 3 . 
L’intégrale (88) est prise le long d’une trajectoire décrite 
dans l’espace depuis l’instant initial (fixe) t 0 jusqu’à l’instant 
final (fixe) t ± . 
On a 
u a = v a \~ i 
d’où 
d 2 æ a 
ds 2 
jf dXv 
Substituons ces valeurs dans (64) ; après simplification par 
V -1 , on aura 
mu 
dXsj 
v v + 
[AV 
<7 
vV\- 
(90) 
3-24 
