J. Neuberq . — Quelques problèmes de probabilité. 
sur ces axes les longueurs OA = OB = OC = Sa, l’équation du 
plan ABC est x g z = Sa, et les coordonnées de tout point 
de la surface du triangle ABC représentent un partage de 3a en 
trois parties. 
Les surfaces représentées par les équations 
xyz = ma 3 , xyz = na 3 
rencontrent le plan ABC suivant deux courbes fermées U m , U n 
qui sont intérieures au triangle ABC et dont la seconde entoure 
la première. Si l’on désigne par S Faire du triangle ABC et par 
S' Faire comprise entre U m et U w> la probabilité cherchée est 
égale au rapport S f : S. 
Les projections U m , \] n de U m U w sur le plan xg ont pour 
équations : 
xy (3a — x — y) = ma 3 , xy (3 a — x — y) = na 3 . 
En prenant pour axes de coordonnées les bissectrices des 
angles des anciens axes Ox, O y, on obtient : 
Les quadratures des courbes U m , U w dépendent des intégrales 
elliptiques. Si S" est Faire comprise entre ces lignes, la proba¬ 
bilité cherchée a pour expression U 2S' : 9a 2 . 
4. On casse, au hasard, une barre PS de longueur 3a en trois 
morceaux PQ, QB, RS. Quelle est la probabilité que le produit 
des longueurs de deux de ces morceaux ne surpasse pas a 2 ? 
Soient ABC un triangle équilatéral de hauteur 3a, et A', B', G 
les milieux des côtés BC, CA, AB. Les distances x, g, z d’un 
point intérieur à ce triangle aux côtés BC, CA, AB peuvent 
représenter les morceaux PQ, QR, RS de la barre. Un cas favo- 
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