,/. Neuberg. — Quelques problèmes de probabilité. 
rable des morceaux QR, RS correspond à la relation yz ^ a 2 . 
Or l’équation yz = ci 2 représente une hyperbole \ a qui a pour 
axe réel la hauteur AA', pour sommet le centre O du triangle 
ABC, pour asymptotes les côtés AB, AC; cette courbe ren¬ 
contre les hauteurs BB', CC' en des points E, E' et le côté BC 
en des points F, F'. Tout point de l’aire ABC non compris à 
l’intérieur du segment hyperbolique FEOE'F' satisfait à l’iné¬ 
galité yz < a 2 . Donc, si S et S' désignent l’aire du triangle 
ABC et celle du segment hyperbolique FEOE'F', la probabilité 
de yz ^ a 2 a pour expression (S — S') : S. 
Les équations zx = a 2 , xy = a 2 représentent deux hyper¬ 
boles A ô , A c qu’on obtient en faisant tourner \ a de 120° autour 
de O dans le sens BCA ou CBA. Pour qu’aucun des produits 
yz, zx, xy ne soit supérieur à a 2 , le point (x, y, z) doit tomber 
en dehors du segment FEOE'F' de A„ et des segments analogues 
de \ b et A c . Donc, si L désigne Faire de la lunule comprise entre 
les arcs de A a et A r qui ont pour extrémités communes les points 
O et E, la probabilité cherchée est égale à (S — BS' -f- 3L) : S. 
5. Soit ABC l’un quelconque des triangles dont la somme des 
carrés des côtés est égale à P. Quelle est la probabilité que l’angle 
co de Brocard de ce triangle soit compris entre a et (3? 
Posons a 2 = rx, b 2 = ry, c 2 = rz, a 2 b 2 -|- c 2 = 3 rm, 
où 3 rm = l 2 ; r est une longueur auxiliaire quelconque. 
Comme x -\- y z — 3m, nous pouvons considérer x, y, z 
comme les distances d’un point aux côtés d’un triangle équila¬ 
téral MNP de hauteur 3m. On a 
a 2 + b 2 + c 2 x -f- y -j- z 
4ABC y__ £, X 2 _|_ 2 %y Z 
Pour que x, y, z soient les côtés d’un triangle réel, la quan¬ 
tité A == Zx 2 —doit être nulle ou négative. Or l’équa¬ 
tion A — 0 représente la circonférence U inscrite au triangle 
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