et systèmes triplex orthogonaux à lignes de courbure planes.... 
En remplaçant, dans le système (S), x t par —, on obtient un 
système (S') qu’on peut déduire du système (S) en supprimant, 
dans celui-ci, les termes qui contiennent 0 ou 6 1 . Le système (S r ) 
est complètement intégrable et admet une triple infinité de 
solutions telles que Eæf = 0. Donc, pour que la congruence 
des sphères S 3 soit cyclique, il faut et il suffît qu’il existe une 
fonction <7 satisfaisant aux relations (A'). A chaque fonction <r 
vérifiant ces relations correspondra une triple infinité de cercles 
tracés sur S 3 et engendrant des systèmes cycliques dont les 
périsphères ont pour paramètres a , v et coupent S 3 sous les 
angles <r, ^ — <r. La sphère S 3 ne contient pas d’autre cercle 
jouissant de ces propriétés, car, d’après ce qui précède, si Ton 
cherche un tel cercle, on trouve un des oc 3 cercles qui viennent 
d’être définis. 
3. Soient iy r 2 deux de ces cercles et un point quelconque 
de iy II y a deux cercles tangents à r i , en M lf et à iy Par un 
de ces cercles, que nous appellerons Q, passent deux sphères : 
l’une est tangente aux sphères focales des cercles iy iy u variant 
seul (c’est-à-dire aux sphères focales qui ont pour caractéristiques 
les cercles iy P 2 lorsque u varie seul); l’autre est tangente aux 
sphères focales des mêmes cercles, avariant seul. Par conséquent, 
les systèmes orthogonaux cycliques dont les lignes de courbure 
circulaires sont les cercles T 1 et les cercles r 2 se correspondent 
dans une transformation de Ribaucour, et le point de contact 
M 2 de Q et de r 2 étant des points correspondants (*). Récipro¬ 
quement, si deux systèmes orthogonaux cycliques se corres¬ 
pondent dans une transformation de Ribaucour, deux lignes de 
courbure circulaires correspondantes iy r 2 se coupent en deux 
(*) Il suit de là que si l’on connaît les surfaces orthogonales aux différentes 
positions du cercle là, on obtiendra sans intégration les surfaces orthogonales aux 
différentes positions du cercle là. 
1919 . SCIENCES. 
545 
23 
