A. Demoulin. — Congruences de sphères cycliques 
relations. Celles-ci expriment que a, (3, y, oc 2 -f- (3 2 + y 2 — R 2 
satisfont à l’équation 
(9) 
a 2 G 
dudv 
d log R 9cr\ aG fd log R aa-\ aG 
-tg O- — ) --h (-h cot cr — ) — 
dv 
dv J du 
+ 
du 
du J dv 
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que 
la congruence des sphères S 3 soit cyclique. Nous allons les 
mettre sous une autre forme. Trois d’entre elles expriment que 
le réseau (w, v), tracé sur la surface (G), lieu du point (G), est 
conjugué (*). Par suite, a, (3, y satisfont à l'équation 
(m a 2 8 _(!2)a9 (!2jaQ 
dudv { l S du ( 2 ) dv 
les symboles de Cliristoffel j | ^ | étant relatifs au ds 2 de la 
surface (G). 
Les équations (9) et (10) étant identiques, on a 
( 11 ) 
— = tg a- 
du 
\ 12 
( 2 
ajogjtN 
du / 
\ 12 \ a log R\ 
l i S dv~ J 
;**) 
Pour que la congruence des sphères S 3 soit cyclique, il faut 
qu’il existe une fonction o- vérifiant ces deux égalités. Nous 
(*) Pour abréger, nous n’examinons pas le cas, qui se traite aisément, où le 
point 0 décrit une ligne. 
(**) Si la sphère (S 5 ) n’est pas une des sphères principales d’une surface et si elle 
ne touche pas une droite fixe en un point fixe, on a 
} 12 ) a )og R (42J' \ 12) 9 log R j 12 ) ' 
\ 2 \ ïu~ — 1 2 r m \ dv~~} i r 
les symboles de Cliristoffel 
1121' 
\ 12 V 
11 !’ 
î 2 j 
étant relatifs à la forme quadratique en du 
et dv qui est égale au carré de l’angle de deux positions de S 3 infiniment voisines. 
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