et systèmes triples orthogonaux à ligne » de courbure planes _ 
allons démontrer que cette condition, convenablement entendue, 
est suffisante. Considérons, en effet, une congruence,’lieu d’une 
sphère S 3 de centre G (a, (3, y) et de rayon R. Supposons d’abord 
que cette sphère ne passe pas par un point fixe et qu’elle ne soit 
pas orthogonale à une sphère fixe. D’après ce qu’on a vu plus 
haut, pour que la congruence soit cyclique, il faut qu’on puisse 
tracer sur la surface (G), lieu du point G, un réseau (u, v) tel 
que a, (3, y, a 2 -f~ (3 2 -(-y 2 — R 2 , exprimées en fonction de u et 
de v, satisfassent à une équation de Laplace. Supposons qu’il en 
soit ainsi. L’équation dont il s’agit sera évidemment l’équa¬ 
tion (10), Admettons en outre que le système (11), considéré 
comine déterminant a-, soit intégrable. Alors les équations (9) et 
(10) seront identiques et, par suite, a, (3, y, a 2 -|- [3 2 y 2 — R 2 
satisferont à la première : la congruence des sphères S 3 sera 
cyclique, c. q. f. d. 
Lorsque la différence — j ^ j — ~ j ^ j est 0, le système (11 ) 
admet une solution et une seule si deux conditions sont vérifiées. 
Lorsque cette différence est nulle, le système (11) n’admet de 
solution que si l’on a 
— i 42 \m - S 12 lÈ «H 12 ^/( 12 j a logfr X 9 2 log R 
du \ 1 ) dv\ 1 ) \\ 1 i dv J \\ 1 ) du J dudv 
Il est alors complètement intégrable. Nous dirons, dans ce 
cas, que la congruence des sphères S 3 est cyclique d’une infinité 
de manières. 
Lorsque la sphère S 3 passe par un point fixe ou est ortho¬ 
gonale à une sphère fixe, à chaque réseau conjugué (u, v) tracé 
sur (G) correspond un système tel que (11). Ce système se dis¬ 
cute comme plus haut. 
7. Soit cr une solution du système i l 1) [ou d’un des systèmes 
(11) si la sphère S 3 passe par un point fixe ou est orthogonale 
à une sphère fixe]. A cette solution correspondent oo 3 cercles T 
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