A . Demoulin. — Congruences de sphères cycliques 
tracés sur S 3 et engendrant des systèmes cycliques dont les péri- 
sphères ont pour paramètres u, v et coupent S 3 sous les angles 
(7, ^ — cr. Pour obtenir ces cercles, il faut intégrer le sys- 
tème (7). Ce système admet l’intégrale 
(12) <K2/) = yl + 2/i + 2/1 — 2/ï — Vî = C0Ilst - 
A toute solution (y l9 y 2 , ..., y 5 ) telle que la constante soit 
nulle, correspond un cercle F. Celui-ci est situé dans le plan 
défini par l’équation 
(^ 3 ) 2/i(X — a) -j- 2/ 2 (Y — P) + 2/3(Z — y) = — (w, 2/ 4 + w lt 2/ 5> ). 
Les considérations suivantes conduisent à une autre détermi¬ 
nation des cercles F. 
III. 
8. En vertu des égalités (A') et (B), il existe un pentasphèreP' 
admettant, lorsque u varie seul, les rotations p ', q ', r, Ç, r h Ç', 
à, g., p, et lorsque v varie seul, les rotations p' v q[, i\, % i9 y\ if ÇJ, 
pi 1 , vi, p 4 . Soient S l9 S 2 , S 3 les sphères de P', S* et SJ 
(2 = J, 2, 5) étant des sphères homologues. La congruence 
des sphères S 3 est cyclique ; elle ne dépend que de celle des 
sphères S 3 et non du choix des sphères S 1? S 2 , S 4 , S 5 , Nous 
dirons que chacune de ces congruences se déduit de l’autre en 
soumettant celle-ci à une flexion. 
Soit T la transformation conforme en vertu de laquelle les 
sphères S v S 2 , ..., S 5 correspondent respectivement aux sphè¬ 
res S 1? S 2 , ..., S 5 . 
9. Considérons un quelconque des cercles F. Les coordonnées 
æ if x 2 , ..., x h d’un de ses foyers F satisfont au systèmeS' (n° î). 
Ce système exprime que le point F' qui correspond à F dans la 
transformation T est fixe. Le cercle d’intersection de S 3 et du 
cône isotrope de sommet F' correspond évidemment, dans la 
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