et systèmes triples orthogonaux à lignes de courbure planes 
transformation T, au cercle F considéré. Par conséquent, les 
cercles T sont ceux qui correspondent , dans la transforma¬ 
tion T -1 , inverse de T, aux cercles d'intersection de S 3 avec 
les oo 3 cônes isotropes de l’espace. 
Ce théorème conduit au suivant : Le cercle qui correspond , 
dans la transformation T -1 , à l’intersection de S 3 et d’une sphère 
fixe engendre le système K le plus général (*). 
IV. 
1 0. Désignons par K une courbe quelconque tracée sur S 3 
et définie pour chaque position de cette sphère, et par K' la 
courbe qui lui correspond dans la transformation T. Soient M un 
point quelconque de K et M 7 le point qui lui correspond dans T. 
Si la trajectoire du point M est orthogonale à K, la trajectoire 
du point M' sera orthogonale à K f et vice versa. 
1 1. Supposons, en particulier, que K' appartienne à une 
développable isotrope fixe 1) . Soient M' l’intersection de K 7 et 
d’une génératrice rectiligne g 7 de D\ arbitrairement choisie, 
et M le point qui lui correspond dans T -1 . La trajectoire du 
point M 7 , qui est évidemment la droite g , est orthogonale aux 
courbes K 7 ; donc la surface ï, lieu du point M, est orthogonale 
aux courbes K. Nous allons démontrer que si g 7 varie, la sur¬ 
face S engendrera une famille de Lamé. Soit T 7 l’intersection de 
S 3 et du cône isotrope qui a pour sommet un point de g } , arbi¬ 
trairement choisi. Le cercle F qui correspond-à T 7 dans T -1 est 
tangent à K en M et engendre un système cyclique dont les péri- 
sphères ont pour paramètres u, v. On déduit facilement de là que 
les surfaces décrites par K lorsque u ou v varie seul découpent 
la surface S suivant ses lignes de courbure, il suit de là que les 
différentes positions de S forment une famille de Lamé. 
(*) Pour la définition des systèmes K, voir, dans les Comptes rendus des séances 
de VAcadémie des sciences de Paris , notre note du 17 janvier 1910. 
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