A. Demoulin. — Congruences de sphères cycliques 
12. On obtient ainsi tous les systèmes triples orthogonaux à 
lignes de courbure sphériques dans un système, les sphères qui 
les contiennent étant en nombre doublement infini. 
Considérons, en effet, une famille de Lamé dont les trajec¬ 
toires orthogonales soient situées sur oo 2 sphères. En vertu d’un 
théorème de Ribaucour, les cercles osculateurs Q d’une quel¬ 
conque K de ces trajectoires, en ses points d’intersection avec 
les differentes surfaces de la famille, engendrent, lorsque K varie, 
des systèmes cycliques dont les périsphères ont pour paramètres 
les paramètres des lignes de courbure des surfaces de la famille. 
En outre, ces périsphères coupent la sphère S 3 qui contient la 
courbe K sous des angles égaux. 11 suit de là que la congruence 
des sphères S 3 est cyclique (*). A cette congruence en correspond 
une autre, lieu d T une sphère S 3 , déduite de la première par 
flexion et telle que les cercles Q' qui correspondent aux cer¬ 
cles Q, dans la transformation T, soient les intersections de S 3 ' 
avec une famille de cônes isotropes. La courbe K' qui corres¬ 
pond à K dans la transformation T, admet les cercles iï comme 
cercles osculateurs et est par suite l’intersection de S 3 avec la 
développable isotrope dont l’arête de rebroussement est le lieu 
des sommets des cônes isotropes qui viennent d’être définis. 
Le théorème énoncé est donc démontré. 
Y. 
13. Considérons une congruence cyclique, lieu d’une 
sphère S 3 . On a vu qu’à toute solution a- du système (11) relatif 
à cette congruence correspondent oo 3 cercles T tracés sur S 3 et 
engendrant des systèmes cycliques. 
Détachons de l’ensemble des cercles F une infinité simple 
(*) M. Darboux (Leçons sur la théorie des surfaces, IV e partie, n 1 1061) a démontré 
que cette condition est nécessaire. M. Guichard ( loc. cit.) a prouvé qu’elle est 
suffisante. 
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