et systèmes triples orthogonaux à lignes de courbure planes _ 
de cercles. Lorsque u et v varieront , les points de contact de ces 
cercles avec leur enveloppe K décriront deux familles de surfaces 
orthogonales aux courbes K et chacune de ces familles sera la 
famille de Immè la plus générale à trajectoires orthogonales 
sphériques (*). Si les cercles considérés oscillent leur enveloppe , 
les surfaces décrites par les points d’osculation formeront la 
famille de Lamé la plus générale à trajectoires orthogonales 
sphériques. Ces propriétés sont des conséquences des théorèmes 
établis dans les n os 11 et 12 et du théorème de Ribaucour invo¬ 
qué dans la démonstration du second de ces théorèmes. Pour en 
déduire les systèmes orthogonaux à lignes de courbure sphé¬ 
riques dans un système, il faut d’abord résoudre les deux pro¬ 
blèmes suivants : Problème I. Déterminer la congruence de 
sphères cyclique la plus générale . Problème II. Déterminer 
les oc 3 cercles qui correspondent à une solution du système (11) 
relatif à cette congruence. Nous avons déjà indiqué au n° 3 une 
solution du problème I : on appliquera la transformation de 
Ribaucour au système orthogonal cyclique le plus général de 
manière à obtenir un système orthogonal de même espèce. La 
sphère contenant deux lignes de courbure circulaires corres¬ 
pondantes I\, P 2 engendrera la congruence cherchée. Nous 
avons résolu ce problème comme il suit, dans le mémoire 
auquel l’Académie des sciences de Paris a décerné le prix Bordin, 
en 1911. Conservons toutes les notations de notre note du 
3 janvier 1910 (Comptes rendus de l’Académie des sciences de 
Paris) et prenons pour cercle F 1 l’intersection des sphères S i? 
S 2 . Soient (0 lf 0 2 ) une solution du système 
(14) 
du 
2 ? 
(*) Les systèmes triples orthogonaux auxquels appartiennent ces familles de 
Lamé se correspondent dans une transformation de Ribaucour. 
