A. Demoulin. — Congruences de sphères cycliques 
et, lorsque v varie seul, les rotations p if q ± , r i , % it y) 4 , Si, y 4 , 
Vj , p 4 . Cela posé, aux déplacements euclidiens près, il y a un 
pentasphère 11 et un seul satisfaisant aux conditions suivantes : 
1° Ses rotations (j, <*, X, v, p ± , r iif p 1 , v 4 ont respectivement pour 
valeurs — iA, — iB, — ÏC, — e 4 , iA^ — iB 4 , — /C 4 , e ; 2° Ses 
douze autres rotations sont milles; 3° a if a 2 , </ 3 , « 4 , a 5 sont 
respectivement égaux à iy 4 , iy h , y ± , y 2 , ?/ 3 divisés par k 2 . 
L’intersection f 12 des sphères H 4 , S 2 engendre un système 
cyclique dont les périsphères ont u, v pour paramètres. La 
sphère S' définie, relativement au pentasphère II, par l’équation 
— b)X 2 = 0 
engendre une congruence cyclique qui se déduit par flexion de 
la congruence, lieu de la sphère S. Ces propriétés sont vraies 
dans tous les cas. Si - 0 enveloppe une surface Q 0 , on peut leur 
ajouter les suivantes : 1° L’enveloppe du plan du cercle F 12 est 
une surface Q applicable sur Q 0 et les paramètres du réseau 
conjugué commun aux deux surfaces sont u, v ; 2° Si l’on fait 
rouler Q 0 sur Q, le point O, entraîné par Q 0 , coïncidera avec un 
des foyers de f 12 . 
20. Lorsque le rayon de la sphère S est constant, la surface, 
lieu du point G, a même représentation sphérique que deux 
surfaces isothermiques I, I 4 qui se .correspondent dans une 
transformation de Christoffel et les foyers du cercle F 12 décrivent 
deux surfaces isothermiques J, J 4 qui se correspondent dans une 
transformation de Darboux. Cette relation entre les couples de 
surfaces I, I 4 et J, J 4 est celle qui a été signalée par M. Guichard 
en 1903 (*). M. Bianchi et moi l’avons retrouvée, indépen¬ 
damment l’un de l’autre et sous des formes très différentes, en 
(*) C. Guichard, Sur les systèmes orthogonaux et les systèmes cycliques ^Annales 
SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, 3 e Sér., t. XX'. 
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