A. Demoulin. — Sur' les transformations de Ribaucour. 
attendu que le point O est situé sur l’axe du cercle oscillateur 
de (A). 
Si la courbe (À) appartient à une sphère E, la sphère S peut 
être variable ou fixe. Dans le premier cas, elle admet le cercle C 
comme caractéristique. Dans le second, elle coïncide avec-S, et 
la courbe (B) est tracée sur cette sphère. 
Examinons enfin le cas où la courbe (A) appartient à un 
pian Ti. Si la sphère S ne se réduit pas à un plan, elle est 
nécessairement variable et admet le cercle C comme caracté¬ 
ristique. Si elle se réduit à un plan, elle coïncide avec le plan u, 
et la courbe (B) est tracée sur ce plan. 
Lorsque la ligne (A) est une droite ou un cercle, la ligne (B) 
appartient nécessairement à un plan ou à une sphère passant 
par (A). 
3. Une ligne quelconque (A), lieu d’un point A, étant 
donnée, soit à déterminer les lignes qui lui correspondent dans 
des transformations de Ribaucour. En s’appuyant sur les consi¬ 
dérations précédentes, on est conduit aux résultats suivants. 
11 y a trois cas à distinguer. Premier cas : La ligne (A) n’est 
ni plane ni sphérique. Deuxième cas : La ligne (A) est plane 
ou sphérique, mais n’est ni une droite ni une courbe. Troisième 
cas : La ligne (A) est une droite ou un cercle. 
Premier cas. Faisons passer par le cercle oscillateur de (A) en A 
une sphère définie pour chaque position de ce point. Le cercle 
caractéristique de cette sphère est tangent à la courbe (A) en A, 
et son enveloppe se compose de la courbe (A) et d’une seconde 
courbe. Celle-ci correspond à la courbe (A) dans la transfor¬ 
mation de Ribaucour la plus générale. 
Deuxième cas. La solution que nous venons d’indiquer 
subsiste dans ce cas, mais il y a d’autres courbes qui corres¬ 
pondent à la courbe (A) dans des transformations de Ribaucour; 
ce sont celles qui appartiennent au plan ou à la sphère sur 
laquelle la courbe (A) est tracée. 
