A . Demoulin. — Sur les transformations de liibaucour. 
Troisième cas. La ligne qui correspond à la ligne (A) dans 
la transformation de Ribaucour la plus générale est la ligne la 
plus générale tracée sur un plan ou une sphère quelconque 
passant par (À). 
4. Les transformations de Ribaucour des courbes, celles des 
surfaces (*) et celles des systèmes triples orthogonaux (**) 
jouissent de propriétés susceptibles du même énoncé, à condition 
de désigner par le mot figure une courbe, une surface ou un 
système orthogonal. Pour abréger, au lieu de dire transfor¬ 
mation de Ribaucour, nous dirons transformation R. 
Si deux figures (MJ et (MJ correspondent à une figure (MJ 
dans des transformations R, il y a une figure (M), dépendant 
d’un paramètre, qui correspond à (MJ et à (MJ dans des 
transformations R. Désignons respectivement par M 0 , M 1? M 2 , M 
des points correspondants des figures (MJ, (MJ, (MJ, (M). 
Les points M appartiennent au cercle T qui passe par lés points 
M 0 , M 4 , Mg. Le rapport anharmonique de quatre quelconques de 
ces points est constant. Le cercle F porte une seconde infinité 
simple de points M' décrivant des figures (MJ qui correspondent 
aux figures (M) dans des transformations R. Le rapport anhar¬ 
monique de quatre points M' est constant. Parmi les points M 
figure le point M 0 et parmi les points MJ les points M 1 et M 2 . 
Désignons par les lettres A, R, C les trois théorèmes que 
comprend cet énoncé : le théorème A concernant les courbes, 
le théorème R, les surfaces, et le théorème (J les systèmes 
orthogonaux. 
Nous avons énoncé partiellement le théorème A et démontré 
(*) Pour la définition de la transformation de Ribaucour des surfaces, voir notre 
note Sur les surfaces dont les lignes de courbure d'un système sont planes ou 
sphériques et sur les familles de Lamé dont les trajectoires orthogonales sont planes 
ou sphériques (ce Bulletin, séance du 1 er mars 1919). 
(**) Pour la définition de la transformation de Ribaucour des systèmes ortho¬ 
gonaux, voir G. Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2 e édition, n° 245. 
