A . Demoulin. — Sur les transformations de Ftibaucour. 
le théorème G dans le mémoire auquel l’Académie des sciences 
de Paris a décerné le Prix Bordin en 1911 (*). Nous avons établi 
le théorème B dans les Comptes rendus de VAcadémie des 
sciences de Paris (séances des 3 et 17 janvier 1910). 
5. Voici un résumé de la démonstration du théorème G à 
laquelle nous venons de faire allusion. 
Soit (M 0 ) un système triple orthogonal quelconque. Dési¬ 
gnons par m 1 , u 2 , u 3 les paramètres des trois familles de Lamé 
qui le composent. Soit (MJ un quelconque des systèmes triples 
orthogonaux que la transformation de Bibaucour permet de 
déduire du système (M 0 ). Par hypothèse, par deux points cor¬ 
respondants M 0 et M 4 des systèmes (Mo) et (MJ passent trois 
sphères S 1? S 8 , S 3 respectivement tangentes aux surfaces de 
paramètres u ± , u 2 , u 3 décrites par ces points. Désignons par S 4 
et S 5 deux sphères orthogonales entre elles et aux précédentes. 
Rapportons les sphères S 4 , S 8 , ..., S 5 à un système de coor¬ 
données pentasphériques. Le pentasphère (** (***) ) P formé de ces 
sphères admet, lorsque (i == 1, 2, 3) varie seul, les rotations 
Pif dif ^i y ^i* Pi» ^i’ Pi ( )* 
Par suite du choix des sphères S 4 , S 8 , S 3 , les rotations p it 
d 2 * ^* 3 » ^ 2 » ? 3 ’ ^ 3 > fil f Si > ^ 2 ’ ^ 2 » ^ 3 » ’ '^1 f ^2 ïlldleS. 
Soit ild une permutation quelconque des nombres 1, 2, 3. 
(*) Dans une note insérée dans les Comptes rendus, le 7 novembre 1910, nous 
avions déjà démontré qu’à tout couple de systèmes orthogonaux (P), (Q) se corres¬ 
pondant dans une transformation de Ribaucour, on peut attacher un couple 
de systèmes orthogonaux (P'), (Q r ) ayant entre eux la même relation, de manière 
que les systèmes (P), (P') se correspondent dans une transformation de Ribaucour 
et qu’il en soit de même des systèmes (Q), (G'). 
(**) Nous appelons pentasphère tout système de cinq sphères deux à deux ortho¬ 
gonales, les cinq coordonnées de chacune de ces sphères (choisies de manière 
que la somme de leurs carrés soit égale à 1) étant données en grandeur et en 
signe. 
(***) Voir, pour la définition de ces quantités, dans les Comptes rendus de L'Aca¬ 
démie des sciences de Paris , notre note du 5 juin 1905. Nous avons remplacé ici <r 
par p. 
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