A. Demoulin. — Sur les transformations de Ribaucour. 
Cette fonction existe, car, si l’on écrit les conditions d’inté- 
grabilité pour a, on obtient le système (1); et elle vérifie le 
système (2), car, si Ton écrit les conditions d’intégrabilité pour 
a, on obtient ledit système. 
En vertu des égalités (3;, (4), (5), on a 
— = $2 - «ï*3 - SC3 • 
Par suite, les points M 0 , M lf M 2 , M 3 sont concycliques. 11 
suffit à présent d’appliquer un théorème de géométrie que nous 
avons énoncé ailleurs (*) pour reconnaître que les systèmes 
(MJ et (M 3 ) se correspondent dans une transformation de 
Ribaucour. Comme a' n’est définie qu’à une constante additive 
près, on peut énoncer une partie du théorème C : Si deux 
systèmes orthogonaux (MJ, (MJ correspondent à un système 
orthogonal (M 0 ) dans des transformations de Ribaucour, il y a 
une infinité simple de systèmes orthogonaux (M 3 ) qui corres¬ 
pondent aux systèmes (MJ et (MJ dans des transformations 
de Ribaucour. Les points M 3 qui décrivent les systèmes (MJ 
sont distribués sur le cercle F qui passe par les points généra¬ 
teurs M 0 , M*, M 2 des systèmes (MJ, (MJ, (MJ. 
Désignons par (MJ celui des systèmes (MJ qui correspond 
à une valeur arbitraire mais déterminée J } de a', et par (M) le 
système (MJ qui correspond à la valeur a' 0 -j- w ! de a ; la varia¬ 
tion du paramètre w> donnera tous les systèmes (MJ. Le rap¬ 
port anharmonique des points M g , M, M 0 , M t a pour valeur 
a ° y - . Par suite : 1° le rapport anharmonique de quatre points 
M est constant; 2° si w' tend vers l’infini, M tend vers M 0 . 
Les systèmes (MJ et (MJ correspondent à (MJ dans des trans¬ 
formations de Ribaucour; donc, d’après un résultat établi plus 
haut, il existe une infinité simple de systèmes orthogonaux qui 
correspondent à (MJ et à (MJ dans des transformations de 
(*) Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris , séance du 3 janvier 1910. 
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