A. Demoulin. — Sur les transformations de Hibaucour. 
Ribaucour. Un quelconque (M') de ces systèmes est décrit par 
le point M' dont les coordonnées y lf y 2 , ..., y 5 sont données 
par les égalités 
Vi = &i, V 2 = «*, y 3 = x 3 , t/ 4 + iy s = a + w, y 4 — iy 5 = 8". 
w désigne un paramètre arbitraire et 9" est définie par l’égalité 
x{ + %2 + + (a + W) 9" = 0. 
Si w est nul, M' est en M 2 ; si w tend vers l’infini, M' tend 
vers M 4 . 
Le cercle F porte donc deux séries simplement infinies de 
points décrivant des systèmes orthogonaux dont les familles 
de Lamé ont u ± , u 2 , u 3 pour paramètres : les points M et les 
points M'. Deux systèmes décrits par des points appartenant 
à deux séries différentes se correspondent dans une transfor¬ 
mation de Ribaucour. On le démontre en s’appuyant sur le 
théorème de géométrie invoqué plus haut. 
Le théorème C est à présent complètement démontré. 
6. Lorsque w 2 = const. [i = 1, 2, 3), le cercle F engendre 
un système K (*). Cette remarque conduit à un grand nombre 
de propriétés de la figure considérée ici. Celles-ci peuvent être 
généralisées. Soit F une conique dépendant de trois paramètres. 
Nous dirons qu’elle engendre un complexe © si elle porte une 
infinité simple de points M et une infinité simple de points M' 
donnant lieu aux propriétés suivantes. u ± , n 2 , u 3 désignant des 
paramètres convenablement choisis : 1° les points M et les 
points M' décrivent des systèmes à lignes conjuguées, les para¬ 
mètres des familles de surfaces qui composent chacun d’eux étant 
u i9 u 2 , u 3 ; 2° les tangentes aux lignes (M„.) et les tangentes 
(*) Pour ce qui concerne les systèmes K, le lecteur pourra consulter les deux 
notes des Comptes rendus citées dans le n° 4, notre note du 7 février 4910, insérée 
dans le même recueil, et le travail cité dans la troisième des notes du n° 10. 
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