A. Demoulin. — Sur les transformations de Ribaucour. 
aux lignes (M[J (i = 1, 2, 3) sont les génératrices de deux demi- 
quadriques complémentaires. Il est clair que le complexe des 
cercles F est un complexe 0 particulier. Si U( = const. (i= 1,2, S), 
la conique F engendre un des systèmes que nous avons étudiés 
dans notre note Sur les systèmes 0 et sur les systèmes R (ce Hui - 
letin, séance du I* r mars 1919). De là résultent de nombreuses 
propriétés des complexes 0. Parmi ces propriétés, nous n’indi¬ 
querons ici que la suivante. Soient u if u 2 , u 3 les paramètres des 
familles de surfaces qui composent un système à lignes conju¬ 
guées décrit par un point P. Si u k varie seul, la tangente à la 
ligne (P M J (i, k = 1, 2, 3; i k) a une enveloppe qu’elle 
touche en un point que nous désignerons par V ik . Cela posé, les 
points M ik et les points M- A . (i, k — 1, 2, 3; i ^ k) sont distri¬ 
bués sur une conique V ik et celle-ci engendre un complexe 0. 
Par suite, de tout complexe 0, on peut déduire six complexes de 
même nature. 
7. Voici une application du théorème B à la théorie des 
surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système. 
Désignons par (MJ une telle surface, par (M 0 )un des périsphères 
qui lui correspondent dans des transformations R (*), et par (M 2 ) 
un des périsphères qui correspondent à (M 0 ) dans des transfor¬ 
mations R; ces périsphères dépendent d’une fonction arbitraire. 
Il y a une infinité simple de surfaces (M) qui correspondenl 
à (MJ et à (MJ dans des transformations R. (MJ*étant un 
périsphère, les surfaces (M) ont leurs lignes de courbure sphé¬ 
riques dans un système. On peut donc énoncer le théorème 
suivant : Une surface à lignes de courbure sphériques dans 
un système étant donnée, il y a une surface de même nature 
(dépendant d’une fonction arbitraire et de constantes arbitraires) 
qui lui correspond dans une transformation R. 
(*) Nous nous appuyons ici et plus bas sur des résultats que nous avons établis 
dans le travail cité dans la première des notes du n° 4. 
1949 . SCIENCES. 
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