A. Demoulin, — Sur les transformations de Hibaucour. 
faire correspondre à ces courbes des courbes (m ± ), (raj,..., (mj, 
(mj telles que les n premières correspondent à la dernière 
dans des transformations G (n° 9). En vertu du théorème D, 
on peut joindre aux n + 1 courbes (mj, (mj, (mj, ..., (m n ), 
2* — n — 1 courbes de manière à obtenir un système de 
2 W courbes jouissant de la propriété suivante : une quelconque 
des courbes du système correspond, dans des transformations G, 
à n courbes de ce système. On déduit de là le théorème F en 
faisant usage de la transformation L (n° 8). 
15. Démontrons le théorème H dans le cas où n = 8. Soit 
(M 0 ) un système orthogonal quelconque. Désignons par u ± , u 2 , 
u 3 les paramètres des trois familles de surfaces qui le com¬ 
posent Supposons que trois systèmes orthogonaux (MJ, (MJ, 
(M 3 ) correspondent à ce système dans des transformations R. 
Soient (MJ, (MJ, (MJ trois systèmes orthogonaux correspon¬ 
dant, dans des transformations R, respectivement aux systèmes 
(MJ et (MJ, (M 3 ) et (MJ, (MJ et (MJ. En vertu du théorème C, 
de tels systèmes existent et chacun d’eux dépend d’une constante 
arbitraire. 11 s’agit de démontrer qu’il y a un système orthogonal 
qui correspond, dans des transformations R, aux systèmes (MJ, 
(MJ, (MJ. En vertu du théorème F, on peut adjoindre aux 
courbes (M 0 «J, (Mi«J, (M 6 «J (s — I, 2, 8) une huitième 
courbe (PJ qui correspond aux courbes (M 4 «J, (M S ,J, (M 6W J dans 
des transformations R. Les points P 4 , P 2 , P 3 sont confondus, 
car ils coïncident avec le point M 7 commun aux cercles M|M 5 M 6 , 
M 2 M 6 M 4 , M 3 M 4 M 5 . Or, on le démontre aisément, les courbes 
(M™,), (M 7 ll t # ), (M 7 /J sont deux à deux orthogonales; par suite, 
le système triple (w 4 , u 2 , u 3 ) décrit par lepoint M 7 est ortho¬ 
gonal et ce système correspond visiblement aux systèmes (MJ, 
(MJ, (MJ dans des transformations R. Le théorème R est donc 
établi pour n = 3. 
En partant de là, nous allons établir le théorème H pour 
n = Supposons que quatre systèmes orthogonaux (MJ, (MJ, 
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