A. Demoulin. — Sur les transformations de Ribaucour. 
(M s ), (M 4 ) correspondent an système (M 0 ) dans des trans- 
formatiens R. Désignons par (MJ ou (MJ (i,j= 1,2, 3, 4; 
i j) (*) un système orthogonal qui correspond aux systèmes 
(M-), (M,) dans des transformations R. En vertu du théorème H 
pour n == 3, on peut adjoindre aux systèmes (MJ, (MJ, (MJ, 
MJ, (MB),. (M 23 ), (M 31 ) un huitième système orthogonal 
(M 123 ) qui correspond aux trois derniers dans des transforma¬ 
tions R. On peut, de même, adjoindre aux systèmes (MJ, (M,-), 
(M ; -), (MJ, (MJ, •(M,J,.(M / J [i,j = 1, 2, 3; ip.jj) un système 
orthogonal (M ÿ J qui correspond aux trois derniers dans des 
transformations R. On obtient ainsi quatre systèmes orthogo¬ 
naux (M 123 ), (M 12 J, (M 23 J, (M 31 J, Chacun d’eux correspond, 
dans des transformations R, à trois des systèmes (MJ (i, j = 
1 , 2, 3, 4; i j). Nous allons démontrer que ces quatre 
systèmes correspondent, dans des transformations R, à un 
même système orthogonal. En vertu du théorème F, on peut 
adjoindre aux quinze courbes (M 0#< ), (M, 7H ) ( i,j, 
k ■= 1,2,3,4 ; i ^ j ^ k ; s = 1,2, 3) une seizième courbe (PJ 
qui correspond aux courbes (M ÿAM J dans des transformations R. 
Les points P 4 , P 2 , P 3 sont confondus, car ils coïncident avec 
le point M 1234 commun aux six cercles MJVI ÿA M i?l {i, j, k, l =*= 
*>2,3,4; i Æ ^ /c B/). Les courbes (M m4B J, (M m4% ), 
(M 42341 J sont deux à deux orthogonales, donc le système triple 
(u ± , n 2 , u 3 ) décrit par le point M 1234 est orthogonal et ce système 
correspond évidemment aux systèmes (M y J dans des transforma¬ 
tions R. Le théorème H est donc démontré pour n = 4. Par 
un raisonnement tout semblable à celui que nous venons 
(*) D’une manière générale, lorsque nous serons conduit à désigner un 
^système orthogonal par la notation (Ma d ...«*), nous le désignerons aussi par 
■•*£&)» désignant une permutation quelconque des lettres a h ..., a*. 
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