Géométrie infinitésimale. — Sur les surfaces réglées, les 
surfaces cerclées et les surfaces à lignes de courbure 
sphériques dans un système, 
par M. A. DEMOULIN, membre de l’Académie. 
Ce travail est divisé en deux parties. Nous faisons usage, 
dans la première partie, de la méthode du trièdre mobile et, 
dans la seconde, de la méthode du pentasphère mobile (*). 
PREMIÈRE PARTIE. 
1. Soit a un plan mobile dépendant d’un paramètre u. Atta¬ 
chons à ce plan un trièdre trirectangle O xyz ou T, admettant 
le plan a comme face xOy. Soit, d’autre part, O'x'y'z' ou T' 
un second trièdre trirectangle dépendant aussi de u. Les trans¬ 
lations et rotations de T étant désignées par Ç, tj, Ç, p, q , r, et 
celles de T' par Ç', r', Ç', p' , q\ /, supposons que l’on ait 
£'. = !■, y ' = y\, r' = r. Soit D le déplacement en vertu duquel 
T vient en coïncidence avec T'. 
2. Si un point de xOy décrit une trajectoire orthogonale à ce 
plan , le point qui lui correspond dans D décrira une trajectoire 
orthogonale à x'O'y', si ce plan est mobile; il sera fixe, si ce 
plan est fixe . 
(*) Cinq sphères deux à deux orthogonales étant rapportées à un système de 
coordonnées pentasphériques, nous appelons pentasphère l’ensemble de ces cinq 
sphères, les coordonnées de chacune d’elles (choisies de manière que la somme 
de leurs carrés soit égaie à 1) étant données en grandeur et en signe. 
