et les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système. 
10. Soient tu un plan isotrope quelconcjue invariablement 
lié à R' et d sa trace sur w. Parmi les sphères passant par l’inter¬ 
section du cône A et de tu, il y en a une, U, qui est orthogonale 
à <i). Son centre appartient à K et sa caractéristique passe par les 
points d’intersection de K et de d. Le cercle K et la droite d sont 
dès lors inverses par rapport à U .Si un point quelconque de d 
décrit une trajectoire orthogonale à cette droite , son inverse par 
rapport à U décrira une trajectoire orthogonale à K. On peut, 
d’autre part, énoncer le théorème suivant : K désignant une 
droite ou un cercle variable , soit U une sphère mobile, dont la 
caractéristique coupe K en deux points. Si un point quelconque 
de K décrit une trajectoire orthogonale ci cette ligne , son inverse 
par rapport à U décrira une trajectoire orthogonale à l’inverse 
de K par rapport à U. Ces propriétés conduisent à une nouvelle 
solution du problème résolu aux n os 7 et 9. Il est possible de 
déterminer, sans intégration, et de la manière la plus générale, 
une surface engendrée par une droite d et les trajectoires ortho¬ 
gonales des différentes positions de cette droite, puis une 
sphère U dont la caractéristique coupe d en deux points. L’in¬ 
verse K de d par rapport à U engendrera la surface cerclée la 
plus générale et deux points correspondants de d et de K décri¬ 
ront simultanément des trajectoires respectivement orthogonales 
à d et à K. Les trajectoires orthogonales des droites d étant 
définies sans signe d’intégration, il en sera de même des trajec¬ 
toires orthogonales des cercles K. Le problème sera donc résolu. 
11. Voici une quatrième solution du même problème. Ima¬ 
ginons une surface cerclée, lieu d’un cercle K de centre 0 et de 
rayon R. Soient vj, Ç, p , q, r les translations et les rotations 
d’un trièdre trirectangle 0 xyz tel que sa face xOy coïncide avec 
le plan de K. Soit, d’autre part, O'x'y'z' un trièdre parallèle 
à 0 xyz ; ses translations étant désignées par £', r/, Ç', supposons 
qu’on ait = hq , r’ = hr\ , h désignant une fonction arbitraire. 
Soit K' le cercle qui, tracé dans le plan x'O'y', a pour centre G' 
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