et les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système. 
trajectoire orthogonale à S 3 , si cette sphère est mobile; il sera 
fixe , si cette sphère est fixe . 
Ce théorème conduit à la détermination, sous forme explicite, 
du couple le plus général de pentasphères ayant entre eux les 
relations indiquées. 
14-. Soient M (x lf x 2 , 0, x 4 , xf) un point quelconque de S 3 
et M' le point qui lui correspond dans T. Si ds, ds' sont les 
éléments des trajectoires respectivement décrites par ces points, 
on a, a { et a] désignant les inverses des rayons des sphères S* et 
( = [(væ 8 + £r 4 + px 2 — qxff — (v r Æ 5 + Ç'-œ 4 + p'x 2 — q'xff\du 2 . 
15 . Supposons que p , q' , < , v' ne soient pas proportion¬ 
nelles à p , q, Ç, v. 
Soient g , g i les cercles de S 3 qui sont respectivement définis 
par les équations 
(v' — v> s +.(?■—■ ÇK -1- ( p' — v)x 2 — isf- — q)x i = o, 
(y 1 + v )æs + (Ç r + ~\~ ( p’ "i - p ) x 2 — (q’ + q) x i — h, 
et g 1 , < 7 j les cercles qui leur correspondent dans T. Désignons 
par Ü, Q', Q*, les surfaces respectivement engendrées parles 
cercles g , g\ g ± , g[. Au moyen de la transformation T, faisons 
correspondre à tout point de g un point de g’ et à tout point 
de g ± un point de g[. x\insi se trouve établie une correspondance 
ponctuelle entre Q et Q' et une autre entre et Qj. En vertu 
de l’égalité (2), ces correspondances sont conformes. 
Les surfaces Q et se touchent tout le long de la ligne 
décrite par les points d’intersection des cercles g et g 1 . De même, 
les surfaces Q' et se touchent tout le long de la ligne décrite 
par les points d’intersection des cercles g' et g[. 
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