et les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système. 
La famille des sphères S 3 ne dépend que de celle des sphères 
S 3 et de h, et non du choix des sphères S i9 S 2 , S 4 , S 5 . Nous 
dirons que chacune des deux familles se déduit de l’autre en 
soumettant celle-ci à une flexion, et nous nous exprimerons de 
même à l’égard des périsphères n et fl', enveloppes des sphères 
S 3 et Sg. 
Soient c et c' les caractéristiques de ces sphères. Atout point 
de c correspond, dans T, un point de c' . Ainsi se trouve établie, 
entre les périsphères II et II', une correspondance ponctuelle. 
En vertu de l’égalité (2), cette correspondance est conforme. 
20 . Reprenons les surfaces S, £' envisagées au n° 16. Dans 
le cas où les égalités (4) sont vérifiées, la formule (3) s’écrit : 
(5) tg h tg C7. 
21 . Si la courbe K est ligne de courbure de E, tg g- sera 
une fonction de u et, d’après l’égalité (5), il en sera de même 
de tg <r' ; donc K' sera ligne de courbure de £'. En outre (n° 16), 
si un point de K décrit une ligne de courbure L de E, le point qui 
lui correspond dans T décrira une ligne de courbure L' de £'. 
Ces propriétés constituent l’extension aux surfaces à lignes de 
courbure sphériques dans un système du théorème de Ribaucour 
relatif aux surfaces à lignes de courbure planes dans un système. 
Les sphères de courbure géodésique des lignes de courbure L 
aux points ou elles sont coupées par une courbe K sont ortho¬ 
gonales à la caractéristique c de S 3 . De là ce théorème : Les 
sphères de courbure géodésique de deux lignes de courbure corres¬ 
pondantes L, L', en deux points correspondants, se correspondent 
dans la transformation T. 
22 . La surface E étant donnée, la surface £' dépend de la 
fonction arbitraire h. Si h = 6 , la famille des sphères S 3 se 
réduira à une sphère et E' coïncidera avec cette sphère. Dans cette 
hypothèse, il y a deux cas à distinguer : 1° a- |, 2° a- = ~. 
Si a est |, le réseau formé des lignes K' et des lignes L' est 
